Николай Морозов - Сборник задач по Комбинаторике. Серия «Вероятность и Статистика»
© Николай Петрович Морозов, 2025
ISBN 978-5-0065-6620-0
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Введение
Посмотрев и оценив статистику продаж моих учебно-методических материалов на сайте Инфоурок за последние три месяца (смотрите График и легенду «популярности» моих методических разработок (МР) по Теории вероятностей на портале «Инфоурок»), я пришел к выводу, что имею полное право начинать создавать серию (ленту) электронных книг «Вероятность и Статистика».
График и легенда «популярности» МР по Теории вероятностей на портале «Инфоурок»
1.1. Основные понятия Комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математике, изучающий способы формирования и выбора конечных множеств объектов. Основные понятия включают:
– Множества: Совокупности объектов, которые могут быть определены и изучены. Объекты, являющиеся элементами множества, называются «элементами».
– Перестановки: Различные упорядоченные последовательности элементов множества. Перестановки можно рассматривать как требования к расположению объектов в определенном порядке.
– Сочетания: Подмножества, формируемые из заданного множества без учета порядка. Например, выбор двух элементов из четырех без учета их расположения.
– Разбиения: Способы разделения множества на непересекающиеся подмножества.
Размещениями называются выборки из n элементов по m элементов, комбинации, содержащие m элементов из данных n, отличающиеся составом или порядком элементов.
Перестановками n элементов называются комбинации, состоящие из всех n элементов, отличающиеся порядком элементов.
Сочетаниями по m элементов из данных n элементов называются комбинации, содержащие m элементов и отличающиеся их составом. A_ {mn} = C_ {mn} *P_m; C_ {mn} = n (n-1) (n-m+1) /m!.
1.2. Перестановки
Перестановки могут быть классифицированы по:
– числу перестановок: Для множества из n элементов количество перестановок равно n = n! (n факториал). Например, для 3 элементов: 3! = 6.
– различным перестановкам с пробелами: Когда в перестановке учитываются некоторые элементы (например, пробелы), используются формулы с делением на факториалы для учета повторяющихся элементов. Например, для множества из n объектов, содержащего k одинаковых элементов, число перестановок рассчитывается как n!/k!.
Задачи на подсчет числа перестановок
1. Найти количество способов расставить n книг на полке.
2. Определить, сколькими различными способами можно задать участие в соревновании.
Задачи на количество различных перестановок с пробелами
1. Рассчитать число способов размещения n объектов с k пробелами между ними.
2. Узнать количество различных упорядоченных последовательностей, в которых некоторые элементы повторяются.
1.3. Сочетания
Сочетания можно делить на:
– Сочетания без повторений: Определяется как количество способов выбрать k элементов из n без учета порядка. Формула: C (n, k) = n!/k! (n-k)!.
– Сочетания с повторениями: Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ с учетом повторений. Формула: C (n+k-1, k).
Задачи на выбор подмножеств
1. Выбрать k студентов из группы с n студентами.
2. Определить, сколько различных наборов фруктов можно выбрать, если некоторые фрукты могут повторяться.
1.4. Принципы счёта
Комбинаторика использует несколько принципов подсчета:
– Принцип умножения: Если существует m способов выполнить одно действие и n способов выполнить другое, то общее число способов выполнить оба действия равно m x n.
– Принцип сложения: Если одно из двух действий можно выполнить двумя различными способами, то общее число способов выполнения одного из этих действий равно сумме количества способов выполнения каждого из них.
– Принцип включения-исключения: Используется для подсчета количества элементов в объединении нескольких множеств, позволяя избежать двойного счета.
Задачи на применение принципов
1. Определить общее количество способов составить меню из нескольких блюд.
2. Найти общее число маршрутов из одного города в другой с учетом различных транспортных средств.